Aber was ist, wenn ich den Namen der Bürgermeisterin nicht nenne, sondern nur ihre Position als Bürgermeisterin?

Vorsicht: Nicht nur Personen haben Persönlichkeitsrechte, wie die Bezeichnung nahelegen würde. Auch Beleidigung und Üble Nachrede bei Behörden (§ 115 StGB), und damit bei BürgermeisterInnen sind möglich.